1*2^0 + 2*2^1 + 3*2^2 +.......+ k*2^(k-1) =？（不会做 在线）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/20 05:43:54
1*2^0 + 2*2^1 + 3*2^2 +.......+ k*2^(k-1) =？

希望哪个高手能详细点，多谢了
多谢,书上的答案是

(k+1)log2(k+1)-k

可不可以划成这种形式?

没有log的

令s=1*2^0 + 2*2^1 + 3*2^2 +.......+ k*2^(k-1)
则2s=1*2^1+2*2^2+……+(k-1)*2^(k-1)+k*2^k
2s-s,2的相同次方的系数都是2s的比s的小1
所以
s=2s-s=k*2^k-[2^(k-1)+……+2^1+2^0]

2^(k-1)+……+2^1+2^0=2^0*(2^k-1)/(2-1)=2^k-1
所以s=k*2^k-2^k+1=(k-1)*2^k+1

S=1*2^0 + 2*2^1 + 3*2^2 +.......+ k*2^(k-1)

2S=1*2+2*2^2+3*2^3+.....+(k-1)*2^(k-1)+k*2^k

S-2S=1*2^0+(2+2^2+2^3+....+2^(k-1))-k*2^k

-S=1+2*(2^(k-1)-1)/(2-1)-k*2^k

=1+2^k-2-k*2^k

即S=(k-1)*2^k+1

bn=1*2^0 + 2*2^1 + 3*2^2 +.......+ k*2^(k-1)
2bn=2+2*2^2+......+(k-1)*2^(k-1)+k*2^k
-bn=1+2^1+......+2^(k-1)-k*2^k=1(1-2^k)/(1-2)-k*2^k=2^k-1-k*2^k
bn=(k-1)*2^k+1

用错位相减法，适用于等差数列A与等比数列B相乘的复合数列C，其做法是该数列C与等比数列的公比q相乘，再减该数列再比上(1-q)。就是该数列的和S